Решение задач «Решение трёх задач»,
Прикладная теория колебаний, математика, физика

№1 Жесткий брус постоянного поперечного сечения, имеющий массу m и длину l, установлен на шарнирно-неподвижной опоре и поддерживается двумя безынерционными пружинами с жесткостями с (рис. 5). Брус несет сосредоточенный груз массой m. Требуется: 1) рассматривая конструкцию как систему с одной степенью свободы без затухания, записать уравнение малых свободных колебаний относительно положения статического равновесия; 2) вычислить частоту собственных колебаний для двух случаев: а) учета массы сосредоточенного груза и бруса; б) учета массы лишь сосредоточенного груза (массой бруса пренебречь); 3) оценить расхождение полученных значений частот в п. 2. Расчеты проводить в долях m и l. Значения коэффициентов K1, K2 , K3 принять следующими: для вариантов с 1 по 10 3/1 K1 ? , 2/1 K2 ? , K3 ? 6/1 ; №2 Для заданной линейной механической системы с одной степенью свободы (рис. 6) требуется: 1) составить уравнение вынужденных колебаний относительно 13 положения статического равновесия; 2) определить частоту собственных колебаний ?0 ; 3) найти закон свободных колебаний при заданных начальных условиях (заданы на рис. 6 в подпункте а) и логарифмическом декременте ? ; 4) найти реакцию системы на воздействие, заданное в подпункте б (см. рис. 6) (потерями пренебречь); 5) найти закон установившегося движения системы при гармоническом нагружении, заданном в подпункте в (см. рис. 6), с учетом потерь (логарифмический декремент ? ). Решение по пунктам 3, 4 и 5 иллюстрировать графически. При расчетах принять: мq 3 0 105 ? ?? , ?0 ? /2 смq , ? ? 0,1?? , 2 4 мкНEJ x ?? , l ? 1м, 3 /lEJс ? x . Значения коэффициентов K1, K2 принять следующими: для вариантов с 1 по 10 6,0 K1 ? , 4,0 K2 ? ; №3 Для заданной линейной механической системы с двумя степенями свободы и без учета потерь (рис. 8) требуется: 1) составить уравнения малых свободных колебаний относительно положения статического равновесия; 2) определить собственные частоты и собственные формы колебаний; 3) проверить ортогональность собственных форм и изобразить их на графиках; 4) найти законы движении во времени каждой из масс при свободных колебаниях системы с начальными условиями: )0( 1 q1 ? , 0)0( q?1 ? ; 0)0( q2 ? , 2 1 q? ?1)0( ?? , где 1q , 2 q – вертикальные перемещения масс от положения статического равновесия соответственно m1 и m2 ; 1q? , 2 q? – скорости вертикальных перемещений масс; ?1 – первая собственная циклическая частота системы; 5) изобразить найденный закон движения на графике, на котором также показать составляющие движения масс по каждой из собственных форм колебаний. При решении считать: а) положение равновесия системы устойчиво; б) массы являются точечными и могут перемещаться только в вертикальном направлении; в) все участки бруса имеют одинаковую жесткость поперечного сечения на изгиб EJ x ; г) жесткость пружин 3 /2 lEJc ? x ; д) массы грузов для вариантов с 1 по 10 1 ? 2 ? m