Решение задач «несколько задач»,
теория вероятностей

Пример 3.1. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10% телевизоров с дефектом, второго – 5% и третьего – 3%. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25% телевизоров с первого завода, 55% – со второго и 20% – с третьего? Пример 3.2. На вход радиоприемного устройства с вероятностью 0,9 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительно пришел? Пример 3.3. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент подбрасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме с вероятностью 0,9, а если в кино – с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что студент разберется в теме? Пример 3.4. Пусть одна монета из 10 000 000 имеет герб с обеих сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается десять раз, причем во всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами? 5.1. На проверку поступают партии из 4 приборов. Проверка партии прекращается после обнаружения первого неисправного прибора. Вероятность того, что прибор пройдет проверку, равна 0,6. Случайная величина X – число проверенных приборов в одной партии. Определить ряд распределения, функцию распределения F(x) и построить ее график. 5.2. Случайная величина X принимает значения Х = i (i =1, 2, ...) с вероятностью p{Х = i} = 2–i . Найти функцию F(х) и вычислить p{3 ? X ? 6}. 5.3. Из десяти транзисторов, среди которых два бракованные, случайным образом выбраны два транзистора для проверки их параметров. Определить и построить: а) ряд распределения случайного числа X бракованных транзисторов в выборке; б) функцию распределения F(x) величины X; в) вычислить p{X ? 0,5}, p{X < 1,5}. 5.4. Точку бросают наудачу внутрь круга радиусом R. Вероятность ее попадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти функцию распределения расстояния от случайной точки до центра круга. 5.5. Для случайной величины X плотность вероятности f(x) = аx при x ? [0; 2], f(x) = 0 при x < 0 и x > 2. Найти коэффициент а, функцию распределения F(x), вероятность попадания на отрезок [1; 2]. 5.6. Функция распределения случайной величины X имеет вид F(x) = b + c arctg(x / a), –? < x< ?. Чему должны быть равны a, b и с? Найти плотность вероятности. 6.1. В условиях задачи 5.1 определить математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсию и СКО СВ X. 6.2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом, без повторений извлекаются 3 шара. СВ X – число белых шаров в выборке. Определить закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию СВ X. 6.3. В партии из n изделий k бракованных. Для проверки наудачу выбирается m изделий. Найти математическое ожидание числа бракованных изделий, содержащихся в выборке. Вычислить математическое ожидание при n = 20, k = 3; m = 5. 6.4. Случайная величина X задана функцией распределения: 1 0, 1, ( ) (1 ), 1. x x F x Ae x ? ? < = ? ? ? ? Найти постоянную А, математическое ожидание, математическое ожидание квадрата СВ X и дисперсию СВ X. 7.1. При работе прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени, подчиняется закону Пуассона. Среднее число неисправностей за сутки равно двум. Определить вероятность того, что: а) за двое суток не будет ни одной неисправности; б) в течение суток возникнет хотя бы одна неисправность; в) за неделю работы прибора возникнет не более трех неисправностей. 7.2. СВ X – ошибка измерительного прибора – распределена нормально с дисперсией 16 мВ2 . Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка: а) превысит по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале (0,5; 3,5) мВ.